Yury Shestopalov erhöll sin masterexamen i tillämpad matematik 1975 och disputerade i matematik och fysik 1978 respektive 1988 vid Moscow State University. År 1989 var han postdok vid Kungliga tekniska högskolan och Stockholms universitet, Sverige.
Under åren 1978–2000 var han biträdande, associerad och ordinarie professor samt avdelningschef vid fakulteten för beräkningsmatematik och cybernetik och Kolmogorovskolan vid Moscow State University. Sedan 2000 är han docent och sedan 2008 professor i tillämpad matematik vid Karlstads universitet och sedan 2013 vid Högskolan i Gävle.